张宏伟

北京市特级教师，现任职于北京亦庄实验小学，先后任课程教学部主任和学部主任，主持了学校数学课程的研发，在打造跨界的综合性数学课程上有独到建树。

北京亦庄实验小学的“全课程”教学实验正开展得如火如荼，风靡学界，“星教师”曾推送的钱锋、常丽华两位语文名师的“全课程”创新也让人心潮澎湃。那么，在打破学科界限、指向“全人”教育的教学变革背景下，数学“全课程”又可以如何展开呢？

今天，与您分享亦小名师张宏伟的“全景式”数学项目课程，在张老师的全景式课程建设和主体化教学方式下，孩子们从古今中外一路走来，得到的是多方位的数学文化的滋养，而这比单纯的知识习得远远更加重要。

建设“全景式”数学项目课程

“全景式”数学的核心工作是建设更为全面、更为完整跨界的综合性数学课程。因为，只有更为全面完整、综合性的课程才更有利于培养全面、完整发展的人。这里，我和大家分享一下其中的部分做法。

过程全景

过程全景，也称为历史全景，就是不仅重视让学生更多地经历局部知识点的学习和研究过程，还尝试把每个知识点都还原到历史情况中，横亘中外，穿越古今，追根溯源，完整地呈现其产生、衍化和发展的全脉；尝试建设完整而又简约的全景式数学史课程，让学习穿越数学产生的历史全景，完整地经历数学知识创造的全过程.

过程全景从“纵”“横”“跨”三条线进行建设。

“纵”：了解和研究一项数学知识的纵向发生、发展过程；了解这项数学知识在整个数学系统中的纵向逻辑结构；

“横”：了解和研究一项数学知识同一时期不同地域的状况；了解它与其他数学内容的“结构”与“连接”关系。

“跨”：跨越多个学科进行综合性的教学，让学生综合性地学习。

比如，二年级的“长度单位”，其过程全景建设分为六个部分：

1、缘于需要，度以身体。让孩子在没有测量工具的情况下，想办法测量身边物体的长度。孩子们自然地选择以身体为标准进行测量，这正是中外古代测量单位起源的历史原貌——古代的长度单位古尺、古寸、肤和仞，分别源于“拃、指、掌宽、身高和庹”；西方的码和英尺源于臂长和脚长……

2、借助外物，解放自己。在用身体的部位作标准后，很多孩子自主选取其他物体，如纸、树枝、笔等为标准，自定单位，进行测量……

3、分享交流，统一标准。在交流相同物体的长度时，孩子们真切体验到标准统一的必要，从而经历标准统一的过程。

4、学生独立调查、制作和测量。课题任务有两项：A.古今中外长度的单位有哪些？怎么规定的？B.米、分米、厘米怎么规定的？你能做一个相应长度的尺子，并用它进行测量吗？

5、交流和分享。纵：分享不同历史时期的长度单位，分享以米为起点的现代长度单位系统。横：分享不同域，如古埃及、古印度、古巴比伦、古代中国等的长度单位。跨：和语文整合学习与长度单位相关的字词、典故、诗文等。如“庹”“丈夫”“肤浅”“咫尺之间”“寻常”“丝毫”“毫厘之差”“微乎其微”中的长度单位；“退避三舍”“码”和“英尺”中的典故；“一片孤城万仞山”“布指知寸，布手知尺，舒肘知寻”“舟首尾八分有奇，高可二黍许”的含义等。再和科学整合——观看《大宇宙：探索人类未知》，科普星际距离（天光年、天文单位等）……

6.综合提升，再次测量。体会身体、尺子、计算相结合带来的便利，并渗透“人是万物的尺度”的理解。

通过这种历史化的全景式的课程建设和主题化的教学方式，学生从古代一路走来，得到数学文化的滋养，对长度单位有了更完整的认识，理解得也更为深刻；更重要的是，学生从中能体悟到数学思考和数学研究的一般方法。

内容全景

内容全景就是在整合教学资源、压缩课时的基础上，引进和补充新的数学内容，让小学阶段的数学内容更为丰富和完整。内容的全景建设主要包括标准内内容和标准外内容的全景建设。

二年级的对称，很多版本的教材单元标题是“对称”，但呈现的内容只有轴对称，潜台词就是非轴对称就不是对称。这样的局限认识，要到九年级学习中心对称（以人教版为例）才得以矫正。

从知识学习的先后顺序考虑，这当然有其合理性，但立足于培养学生更整体地看待世界的眼光，这样的编排却有其局限。

因此，我的学生从二年级就通过自学、调查和研究，补充和完善了相应的内容，从整体上了解到对称指“物体或图形在某种变换条件下，其相同部分间有规律重复的现象”，了解到世界万物有对称和不对称之分，对称有旋转对称（辐射对称）、中心对称和轴对称之分。对称有对称的谐和之美，不对称有不对称的变化美。正是这种全景、完整的课程，让学生对对称本身和自然万物有了更为完整的认识。

再如，计算教学一般教材都是按照“问题——估算和口算——竖式计算”来编排，其算法的呈现，仅仅局限在数和数的运作关系上。我在教学中，补充了数形结合的算法，形成了“全景计算系列课程”。

如两位数乘法，在完成课本教学内容后，引入了指算、巧算、画线算（铺地锦）、方格算、十字相乘法和课外阅读，为学生打开了计算方法的大视野，学生感受到计算的过程和表达也可以很形象、很奇妙、很好玩。

同时，我也让学生去搜集更多的关于计算的材料，并让学生分析不同计算方法的区别和联系，用这样一个研究项目唤醒和强化学生数学阅读和自主研究的意识。

标准外内容的引入，同样是让学生看到一个丰富的、全景的数学世界！

非欧几何

肉眼所及，万物之形有欧式的，也有非欧的、拓扑的，且更多是非欧的。欧式几何规范、简洁，便于学生入门，适合低年级孩子学习。但是，如果整个小学数学都只单一地教学欧式几何，不接触非欧几何内容的话，几何的启蒙是不完整的。看到这个世界中的事物既有欧式的，又有非欧的，才能形成对这个世界辩证的、完整的认识。

鉴于此，我开始尝试引进分形、拓扑等的基础内容。比如，我们经常吃的花菜就是典型的分形现象——它整体和部分的结构惊人的一致。这种分形在现实生活中广泛存在。当我托这部分内容补充进来，领着孩子去观察树和树枝，孩子们惊奇地发现，树的小枝跟它的母枝形状是一样的，树枝和整个树也是“相似”的……然后，我让学生自己再去搜索和了解分形的有关知识和图案。

我让一年级的孩子尝试动手剪莫比乌斯圈，尝试用甜甜圈形状的彩泥“同构”出咖啡杯子。没有必要和孩子们讲，这些是“拓扑学”的知识，只要让孩子们享受完成这些任务的惊奇。

模糊数学

我让低年级孩子做实验：你感觉多少粒豆子可以称为“一堆豆子”；让高年级孩子研究“什么样的人称为老人”，等等。这些问题一提出来，孩子们就炸开了锅，有的孩子直接说这不是数学问题，他们 次接触到了标准的模糊性问题。当然，数学层面的知识没有必要给孩子讲得太清楚，限于孩子的基础，也很难讲清楚。

除此之外，我们还引进数独、七巧板、四巧板、数学魔方（孔明锁、九连环、华容道）等活动和游戏，引进数学电影、数学绘本的数学阅读系列内容……

学生有了对上述知识和案例的接触与了解，他对数学知识的边界就有了全新的认识。

有的老师会有两种质疑：引入的这些内容会不会增加学生负担？学生能接受吗？实践证明，只要难易程度程和教学形式把握准确了，孩子完全能够胜任，而且研究和参与的积极性还特别高。

数（shù）源于数（shǔ）——认识万以内的数的活动设计

数，源于数（shǔ）；数（shǔ），又源于用。在用中数（shǔ），是孩子认识数的最重要的活动。鉴于此，二年级在进行“万以内数的认识”的单元学习时，我决定给孩子设计一些好玩的活动，同时，把原定是4月份一个月的学习，提前到了寒假。

我认为，万以内数的认识， 不能仅靠一个月、一个单元的集中学习而达成，为此，就给孩子们布置了一个“数源于数”的寒假活动——“数（shǔ）万颗子”；新学期开始后，我又设计了“数着写”的长时段活动——“写万个数”。这两项活动，都充满了挑战性，孩子们参与的积极性都很高。

挑战一：数（shǔ）万颗子

“春种一粒粟，秋收万颗子。”一万颗子，到底有多少，我们数数看。你可以在四周的寒假里，数出一万粒大米，豆子、玉米等都行。

要求一：从1开始，一个一个地数。

要求二：每粒装1小袋子，10个小袋(即0粒)装一个大袋子里，10个大袋(即1万粒)装在一个更大的袋子里。

这是一场毅力的挑战，这是一场意志的磨练，你，敢挑战吗？

班里30位孩子，历经一个假期，全部都亲手把“00”数了出来：00粒大米、00粒绿豆、00粒黑豆、00粒红豆、00粒*豆……

孩子们的收获和感受：

1.关于时间

NO1:原来数一万要那么多时间！

NO2:我是整整数了一天，除了吃饭什么都没干。

NO3:我数了10天，每天数0,每天数1小时。

NO4:数的时间太长了，我的手指头数的发热，好疼好疼的……

2.关于多少

NO1:我原来觉得一万多了海里去了，数完了才知道不像我原来想的那么多。

NO2:我原来觉得一万粒，不是那么多，我数完了才知道那么多。

NO3:同样是一万粒，*豆的最多、大米最少……

3.关于怎么数

NO1:我原来觉得我都会数的，数了才知道不是这样的。原来我数到一千零九十九，接着就数两千，现在知道了应该一千一百。

NO2:我知道数数最重要的是拐弯，就是1数到9怎么数。

NO3:1，我原来数是一千零一百，后来我才知道是一千一百，之间没有零字……

4.关于办法

NO1：我想出用折纸数的办法，把豆子都放在折好的沟里，这样豆子就只排了一行，不乱了，就可以一个一个地数了，数完了放进塑料袋就可以了。

NO2:我连续数很麻烦，就想了个好办法，一千一千地数。

NO3:我想出了用直尺数*豆的办法，14厘米正好是20个，数5次就是。

NO4:我把小盒子铺满，正好是个红豆，我就、地数。

……

5.关于成就感

NO1:我数完了一万，完成了挑战，我觉得我很有毅力。

NO2:爸爸妈妈说，他们从来没有数过一万个东西，连钱都没有一元一元地数过一万，我做了一件他们都没有做到的事情，我感觉我很厉害……

小结：尽管每个孩子在数的过程中感受不同，收获不一，相同的是都亲手“制造”了“10个一百是一千，10个一千是一万”，都在修正了自己对“万”的感觉，完善了自己对“万”的认识。30个孩子都感觉完成了一件大事，体会到了挑战成功的自豪感。

挑战二：写万个数

继数豆子后，我们又从三月下旬开始，开始激励孩子挑战更艰巨的任务：勇敢无畏的红*，走完了万里长征，取得了伟大的胜利。我们现在不能走万里路，但是我们可以开始“万里长征”挑战赛：写一万个数。

我给每个孩子打印了26页的10×20的方格书写纸。让孩子们尝试从0开始，每行写十个数，挑战一直写到00。

活动设计

从0一直写到00吗？这是一场毅力的挑战，这是一场意志的磨练，只有足够强大的人才能完成，你敢挑战吗？一天可以，几个月也可以，没有期限，只是希望：如果你选择了挑战，就一定坚持做下去，把它们写完。完成的同学将获得“数学挑战英雄”称号，颁发证书，并受邀和张老师到教师食堂共进早餐。

奖状内容

挑战方式

有两种选择，你可以选择自己适合的方式进行挑战。

我是____号，宣布挑战！

选择一：一口气从0一直写到00

记录：我从（）：（），一直写到（）：（），中间休息了（）时间，实际一共用了（）的时间。

选择二：分成不同的时间段写。

记录：

第1次，从（）：（）开始，到（）：（）结束，用时（）。从（）写到了（）。

第2次，从（）：（）开始，到（）：（）结束，用时（）。从（）写到了（）。

……

孩子作品

学生完成挑战，要历经次“到九拐弯”，在次的体验中对“满十向前一位进一”的计数规则的感悟程度不言自明。

“我是英雄”

完成日期：年3月31日，用时总计14小时10分；

NO.2完成日期：年4月3日，用时总计18小时58分；

……

4月14日，又有3个孩子完成了挑战。

我和孩子约定：“三位新英雄，明天七点半，我们一起去用早点。”

从3月下旬开始，已有11个孩子完成了挑战。我把孩子们领奖和受邀一起就餐的照片，做成了“万里长征挑战赛英雄大会集（他们很棒！我一定也行）”PPT，根据孩子们的完成进度，每天更新，每日在课前播放分享，并上传到家长群里。对于还没有挑战完成的孩子，每次都不忘记劝慰他们：“我们没有时间期限，不着急，慢慢来,坚持下去，老师等你！”

除此以外，开学伊始，我还设计了以“计数单位”为基数的*衔制日常评价制度，“列兵、下士、中士、上士”对应各级四个数位，“*士长和尉官”对应万级四个数位，“校官”对应亿级四个数位。学生每个方面表现好，都可以从个位起，每次晋级四个数位，两个月下来，数位顺序表已然烂熟于心。

通过“数万颗子”、“写万个数”，还有日常涂评价表这几项活动，孩子们对00这个数有了相对完整的认识，并能默会数的读法、数的顺序、数的组成、数位顺序表和“满十进一”的位置制计数规则。同时，也训练了数字的书写，锻炼了他们的毅力和耐心。

声明：本文综合整理而成，欢迎朋友圈分享，